Funktionalanalysis I

(pdf-Download)

Christoph Bock

Preprint, Universität Erlangen-Nürnberg (2025)

Zusammenfassung

Funktionalanalysis bedeutet, grob gesagt, die Untersuchung beliebig-dimensionaler Vektorräume und der stetigen linearen Abbildungen zwischen solchen, wobei der Begriff der Stetigkeit natürlich eine Topologie oder etwas spezieller eine Norm benötigt. Der Name Funktionalanalysis rührt daher, daß in den Anfängen der Theorie die Analysis auf Funktionale von Funktionenräumen ausgeweitet wurde. Funktionalanalytische Resultate ergeben Möglichkeiten, Probleme der (Partiellen) Differentialgleichungen oder der Funktionentheorie zu lösen und die Quantenmechanik zu formulieren. Ich verzichte hier allerdings größtenteils, auf die Anwendungen einzugehen.

Kapitel 1 behandelt fastmetrische Räume und topologische Eigenschaften jener. Soweit es möglich ist, führe ich die Theorie auf dem Niveau topologischer Räume. Bzgl. vieler Ergebnisse muß man sich allerdings auf den Fall fastmetrischer Räume beschränken. Höhepunkt des Kapitels sind der Nachweis der Existenz einer bis auf Isometrie eindeutigen Vervollständigung (fast-)metrischer Räume, eine Charakterisierung kompakter Teilmengen fastmetrischer Räume sowie die Sätze von Arzelá-Ascoli und von Baire. Das Kapitel kann auch als eine kleine Einführung in die Grundstrukturen der mengentheoretischen Topologie verstanden werden, wobei der Begriff des fastmetrischen Raumes im Mittelpunkt steht.

Im zweiten Kapitel werden normierte Vekrorräume und Algebren betrachtet, welche zusammen mit ihren stetigen linearen Abbildungen die eigentlichen Objekte der Funktionalanalysis bilden. Herausragende Ergebnisse sind die Existenz einer bis auf Isometrie eindeutigen Vervollständigung normierter Vektorräume bzw. Algebren zu sogenannten Banachräumen bzw. -algebren, eine Charakterisierung endlich-dimensionaler normierter Vektorräume, die Sätze von Hahn-Banach, zu deren Beweis das Lemma von Zorn, dessen Beweis in Anhang A zu finden ist, benötigt wird, und die fundamentalen Prinzipien der gleichmäßigen Beschränktheit und der offenen Abbildung.

Die wichtigsten Räume in der Funktionalanalysis sind Räume stetiger bzw. integrierbarer Funktionen, denen die drei folgenden Kapitel gewidmet sind. Die herausragenden Ergebnisse des dritten Kapitels sind, daß die im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen, die auf lokal-kompakten Hausdorff-Räumen definiert sind, in den stetigen Funktionen mit kompaktem Träger bzgl. der Supremumsnorm dicht liegen, wofür eine Version des Lemmas von Urysohn, deren Beweis in Anhang C zu finden ist, benötigt wird, und der Satz von Stone-Weierstraß. Kapitel 4 stellt zunächst eine leistungsfähige Integrationstheorie zur Verfügung, leistungsfähig in dem Sinne, daß das dargestellte Lebesguesche Integral, welches H. L. Lebesgue 1902 in seiner Dissertation beschrieben hat, unter gewissen Grenzwertprozessen abgeschlossen ist. Der vorliegende Aufbau der Lebesgueschen Integrationstheorie stammt von P. Dombrowski, der den auf F. Riesz und B. v. Sz. Nagy zurückgehenden erheblich verallgemeinert hat. Sodann werden im fünften Kapitel die Lebesgueschen Räume L^p der p-integrierbaren Funktionen eingeführt und u.a. die Ungleichungen von Hölder und Minkowski sowie der Satz von Riesz-Fischer über die Vollständigkeit der Lebesgueschen Räume bewiesen.

Ein bedeutendes funktionalanalytisches Prinzip besteht darin, die Untersuchung eines normierten Vektorraumes mit dem Studium seines topologischen Dualraumes zu verbinden. In diesem ist die Einheitsvollkugel bzgl. der durch die Operatornorm induzierten Topologie allerdings nur im endlich-dimensionalen Falle kompakt, und dies erfordert die Entwicklung einer speziellen Methode für die Funktionalanalysis. In Kapitel 6 wird u.a. die sog. schwache-*-Topologie eingeführt und gezeigt, daß die Einheitsvollkugel des topologischen Dualraumes eines normierten Vektorraumes bzgl. dieser stets kompakt ist - d.i. der Satz von Banach-Alaoglu, dessen Beweis den in Anhang B präsentierten Satz von Tychonoff verwendet. Mit diesem Rüstzeug kann ich im weiteren Verlauf des Kapitels reflexive Räume charakterisieren, wobei ein normierter Vektorraum genau dann reflexiv heißt, wenn seine kanonische Einbettung in den topologischen Bidualraum surjektiv ist. An einer Stelle wird hierbei der Satz von Eberlein-Šmulian wesentlich ausgenutzt und deswegen skizzenhaft bewiesen. Eine der Charakterisierungen ermöglicht es außerdem, zu zeigen, daß die Approximationsaufgabe in reflexiven Räumen mindestens eine Lösung besitzt.

Das siebente Kapitel behandelt Räume, in deren Vervollständigung die Approximationsaufgabe eindeutig lösbar ist, nämlich gleichmäßig konvexe Räume. Es werden die Sätze von Clarkson und Milman, die mit dem Satz von Riesz-Fischer die Reflexivität der Lebesgueschen Räume L^p für p ϵ ]1,∞[ ergeben, sowie der Darstellungssatz von Riesz in der Version für Lebesguesche Räume, der im Falle p ϵ [1,∞[ den topologischen Dualraum eines Lebesgueschen Raumes L^p bis auf Isometrie als seinen konjugierten Lebesgueschen Raum L^q angibt, welcher durch 1/p + 1/q = 1 chrarakterisiert ist, bewiesen.

Im achten Kapitel werden mit Hilberträumen spezielle gleichmäßig konvexe Räume studiert. Jene sind per definitionem Banachräume, deren Norm durch ein Skalarprodukt induziert wird. Letzteres ermöglicht die Definition des geometrischen Aspektes der Orthogonalität und einen Hilbertraum in einen beliebigen abgeschlossenen Untervektorraum und dessen orthogonales Komplement zu spalten. Eine solche orthogonale Spaltung wird verwendet, um den Darstsellungssatz von Riesz in der Version für Hilberträume zu beweisen, welcher besagt, daß diese in kanonischer Weise selbstdual sind. Des weiteren wird der Begriff einer Hilbertbasis eingeführt und gezeigt, daß jeder Hilbertraum bis auf Isometrie durch die Mächtigkeit einer solchen Basis eindeutig bestimmt ist.

Inhalt

1 Fastmetrische Räume

Grundlagen

Vervollständigung fastmetrischer Räume

Kompakta und der Satz von Arzelà-Ascoli

Der Satz von Baire

2 Normierte Räume und Algebren

Grundlagen

Beschränkte Operatoren

Endlich-dimensionale Räume

Existenz von Normen

Hahn-Banach Sätze

Transponierte Operatoren und der topologische Bidualraum

Die Prinzipien der gleichmäßigen Beschränktheit und der offenen Abbildung

Anhang: Normierbare topologische Vektorräume

3 Räume stetiger Funktionen

4 Lebesguesche Integrationstheorie

Quadermaße

Treppenfunktionen

Nullmengen

Lebesgue-integrierbare Funktionen

Grenzwertsätze und deren Folgerungen

Der Zusammenhang zwischen dem Lebesgue- und dem Riemann- bzw. Stieltjes-Integral sowie absolut konvergente Reihen

Lebesgue-integrierbare Mengen

Stetige und differenzierbare Abhängigkeit

Der Satz von Fubini und der Transformationssatz

Lebesgue-Meßbarkeit und der Satz von Tonelli

Anhang: Meßbarkeit im Sinne der Maßtheorie

5 Lebesguesche Räume

Einführung

Ungleichungen

Dichte Teilmengen und Vollständigkeit

6 Reflexive Räume

Schwache Topologien

Charakterisierung reflexiver Räume

Die Approximationsaufgabe

Anhang: Der Satz von Eberlein-Šmulian

7 Gleichmäßig konvexe Räume

8 Hilberträume

Semiskalarprodukte und induzierte Halbnormen

Prähilberträume

Der Rieszsche Darstellungssatz für Hilberträume

Hilbertbasen

A Das Lemma von Zorn

B Der Satz von Tychonoff

C Das Lemma von Urysohn