Eine m-dimensionale Hyperfläche einer riemannschen Mannigfaltigkeit heißt sphärisch, wenn sie zu einer Sphäre des E^m+1 isometrisch ist. Beispiele hierfür sind m-dimensionale reguläre riemannsche Untermannigfaltigkeiten von M_C^m+1 (das ist der (m+1)-dimensionale Standard-Raum konstanter Krümmung C), die Abstands-Sphären sind, d.h. genau die Punkte enthalten, die von einem Element q₀ von M_C^m+1 konstanten Abstand haben. Möchte man den Nachweis erbringen, daß eine Hyperfläche in M_C^m+1 sphärisch ist, genügt es daher zu zeigen, daß sie eine solche m-dimensionale Abstands-Sphäre ist.

Ausgangspunkt dieser Arbeit war die Veröffentlichung [FS] von Fontenele und Silva, in der die Autoren beweisen [FS, Theorem A], daß eine kompakte und zusammenhängende Hyperfläche im E^m+1, die in einem abgeschlossenen Ball vom Radius r > 0 enthalten und deren Skalarkrümmung stets kleiner oder gleich dem konstanten Wert der Skalarkrümmung der Sphäre vom Radius r in E^m+1 ist, bereits die Sphäre ist.

Sie führen dies auf das folgende allgemeinere Resultat zurück [FS, Theorem B]:

Eine kompakte und zusammenhängende Hyperfläche im E^m+1, deren quadrierte Stützfunktion multipliziert mit der Skalarkrümmung stets kleiner oder gleich Eins ist, ist eine Sphäre.

Wie sich herausstellte, funktionieren die von Fontenele und Silva angegebenen Beweise nicht nur im E^m+1 = M₀^m+1, sondern auch für analoge Ergebnisse über Hyperflächen der Standard-Räume konstanter Krümmung C kleiner Null, (siehe Abschnitt 5.3).

Da die Voraussetzung C ≥ 0 für die Beweisführung entscheidend ist, stellte sich die Frage, ob ein ähnliches Resultat wie [FS, Theorem A] auch für die Standard-Räume konstanter Krümmung größer Null gilt.

Dies führte zur Betrachtung der Arbeit [V] von Veeravalli, der nachweist [V, Theorem 1], daß eine kompakte und zusammenhängende Hyperfläche von M_C^m+1 mit m ≥ 3 und C ≥ 0, die in einem abgeschlossenen normalen Ball vom Radius r Î ]0 , π/(2 √C)[ enthalten und deren Ricci-Krümmung stets kleiner oder gleich dem konstanten Wert der Ricci-Krümmung der Abstands-Sphäre vom Radius r in M_C^m+1 ist, bereits die Sphäre ist. Dies folgt aus einem erheblich allgemeineren hinreichenden Kriterium für sphärische Hyperflächen in vollständigen und zusammenhängenden riemannschen Mannigfaltigkeiten mit nach oben durch eine Zahl größer oder gleich Null beschränkter Krümmung.

Die Veröffentlichung [M] von Markvorsen wurde in die Betrachtung mit einbezogen, da sie ein von Fontenele und Silva formuliertes Korollar verallgemeinert. Markvorsen beweist [M, Theorem 2], daß eine kompakte und zusammenhängende Hyperfläche in einer vollständigen und zusammenhängenden riemannschen Mannigfaltigkeit mit durch C nach oben beschränkter Krümmung sphärisch ist, wenn sie in einem abgeschlossenen normalen Abstands-Ball vom Radius r > 0 (bzw. r Î ]0 , π/(2 √C)[, falls C > 0) enthalten und ihre mittlere Krümmung betraglich kleiner oder gleich k_C(r) ist, wobei k_C(r) der konstante Wert des Betrages der mittleren Krümmung einer Sphäre vom Radius r im Standard-Raum konstanter Krümmung C ist.

Die o.g. Resultate werden im fünften Kapitel bewiesen, die vorherigen vier haben überwiegend vorbereitenden Charakter.
Der Beweis der Sätze von Fontenele und Silva ist sehr rechnerisch. Neben einer Einführung der Objekte, die in den Hauptsätzen in Kapitel 5 als Voraussetzungen zugrunde gelegt sind, enthält das erste Kapitel einen Großteil der für den Nachweis dieser Sätze notwendigen Überlegungen.
Kapitel 2 stellt bekannte Resultate zusammen, wie z.B. das Index-Lemma, die Sätze von Sard, Rauch und Omori sowie das Hopf-Lemma. Die hier aufgeführten Ergebnisse werden im weiteren Verlauf der Arbeit als Hilfsmittel benötigt.

Die Beweise von [V, Theorem 1] und [M, Theorem 2] werden auf dieselbe Art und Weise geführt:
Unter gewissen Voraussetzungen sind die Abstands-Sphären einer vollständigen und zusammenhängenden riemannschen Mannigfaltigkeit mit nach oben beschränkter Krümmung isometrisch zu einer Sphäre des E^m+1. Ist dies der Fall, so genügt es wieder zu zeigen, daß eine Hyperfläche eine Abstands-Sphäre ist, um zu beweisen, daß sie sphärisch ist. Beim Nachweis hiervon kann es nützlich sein, zunächst mittels des Hopf-Lemmas zu begründen, daß das Quadrat der Abstandsfunktion konstant ist. Hierfür benötigt man allerdings Differenzierbarkeit.

Daher beschäftigen wir uns in Kapitel 3 mit der Abstandsfunktion in riemannschen Mannigfaltigkeiten nach oben beschränkter Krümmung. In solchen Mannigfaltigkeiten bestimmen wir Umgebungen, auf denen das Quadrat der Abstandsfunktion differenzierbar ist, und betrachten den Gradienten bzw. die Hesseform. Für letztere weisen wir eine Ungleichung nach, die u.a. bei der Überprüfung der Voraussetzungen des Hopf-Lemmas dienlich ist.
Im vierten Kapitel betrachten wir eine Hyperfläche in einer vollständigen und zusammenhängenden riemannschen Mannigfaltigkeit N, deren Krümmung kleiner oder gleich C ist. Wir weisen zunächst Mindestgrößen der Beträge der Hauptkrümmungen in Punkten, in denen die Abstandsfunktion maximal wird, nach. Hieraus folgern wir, daß eine Abstands-Sphäre in N, deren mittlere Krümmung betraglich gleich einer gewissen Konstante ist, isometrisch zu einer Sphäre des E^m+1 ist.

Im Gegensatz zu den vorangegangenen Kapiteln ist das vierte keine reine Vorbereitung der Beweise der oben genannten Hauptsätze. Ist eine Hyperfläche M kompakt, so existiert ein minimales r > 0 derart, daß M in einem Ball vom Radius r enthalten ist. Ist dieser Ball normal, so läßt sich mit dem oben erwähnten Satz zeigen, daß das Supremum des Betrages der mittleren Krümmung auf M größer oder gleich k_C(r) ist, wobei k_C(r) der konstante Wert des Betrages der mittleren Krümmung der Sphäre vom Radius r im Standard-Raum konstanter Krümmung C ist. (Im Falle C > 0, muß man zusätzlich fordern, daß r < π/(2 √C) gilt.) Markvorsen erwähnt in [M, Theorem 1], daß diese Aussage richtig bleibt, wenn M lediglich vollständig anstatt kompakt ist und nach unten beschränkte Skalarkrümmung hat. Dieser Beweis wird in Kapitel 4 ebenfalls dargestellt.